تمرین اتحادهای جبری ریاضی دهم - مسئله ۱
۱. هر یک از عبارت‌های زیر را تا حد امکان (به عبارت‌های گویا) تجزیه کنید.
الف) $x^4 - y^4$
ب) $x^6 - y^6$
پ) $8a^3 + 27$
ت) $a^3b^6 - 8$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 67 ریاضی دهم - مسئله ۱
### **الف) $\mathbf{x^4 - y^4}$ (تفاضل مربع‌ها)**
این عبارت را می‌توان به صورت تفاضل مربع‌ها نوشت: $\mathbf{A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)}$
$$\mathbf{x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2}$$
$$= (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$$
عامل $(x^2 - y^2)$ را دوباره با تفاضل مربع‌ها تجزیه می‌کنیم:
$$\mathbf{x^4 - y^4 = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2)}$$
---
### **ب) $\mathbf{x^6 - y^6}$ (تفاضل مربع‌ها و مکعب‌ها)**
بهتر است ابتدا از اتحاد **تفاضل مربع‌ها** استفاده کنیم تا به تجزیه‌ی کامل‌تری برسیم:
$$\mathbf{x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2}$$
$$= (x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$$
حالا هر دو عامل را با اتحادهای **تفاضل مکعب‌ها** و **مجموع مکعب‌ها** تجزیه می‌کنیم:
$$\mathbf{x^6 - y^6 = [(x - y)(x^2 + xy + y^2)] \cdot [(x + y)(x^2 - xy + y^2)]}$$
$$\mathbf{x^6 - y^6 = (x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)}$$
---
### **پ) $\mathbf{8a^3 + 27}$ (مجموع مکعب‌ها)**
این عبارت را به صورت مجموع مکعب‌ها می‌نویسیم: $\mathbf{A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)}$
$$\mathbf{8a^3 + 27 = (2a)^3 + 3^3}$$
$$= (2a + 3)((2a)^2 - (2a)(3) + 3^2)$$
$$\mathbf{8a^3 + 27 = (2a + 3)(4a^2 - 6a + 9)}$$
---
### **ت) $\mathbf{a^3b^6 - 8}$ (تفاضل مکعب‌ها)**
این عبارت را به صورت تفاضل مکعب‌ها می‌نویسیم: $\mathbf{A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)}$
$$\mathbf{a^3b^6 - 8 = (ab^2)^3 - 2^3}$$
$$= (ab^2 - 2)((ab^2)^2 + (ab^2)(2) + 2^2)$$
$$\mathbf{a^3b^6 - 8 = (ab^2 - 2)(a^2b^4 + 2ab^2 + 4)}$$
تمرین اتحادهای جبری ریاضی دهم - مسئله ۲
۲. مخرج کسرهای زیر را گویا کنید.
الف) $\frac{3}{3 + \sqrt{7}}$
ب) $\frac{8}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$
پ) $\frac{1}{\sqrt[3]{x} - 2}$
ت) $\frac{6}{2\sqrt[3]{4} - 1}$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 67 ریاضی دهم - مسئله ۲
### **الف) $\mathbf{\frac{3}{3 + \sqrt{7}}}$ (مزدوج)**
* **مزدوج مخرج:** $3 - \sqrt{7}$
$$\frac{3}{3 + \sqrt{7}} \times \frac{3 - \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}} = \frac{3(3 - \sqrt{7})}{3^2 - (\sqrt{7})^2}$$
$$\frac{3(3 - \sqrt{7})}{9 - 7} = \mathbf{\frac{3(3 - \sqrt{7})}{2}}$$
---
### **ب) $\mathbf{\frac{8}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}}$ (مزدوج)**
* **مزدوج مخرج:** $\sqrt{5} - \sqrt{3}$
$$\frac{8}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{8(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$$
$$\frac{8(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{5 - 3} = \frac{8(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}$$
$$\mathbf{4(\sqrt{5} - \sqrt{3})}$$
---
### **پ) $\mathbf{\frac{1}{\sqrt[3]{x} - 2}}$ (تفاضل مکعب‌ها)**
* **مخرج:** $A - B$ که $A = \sqrt[3]{x}$ و $B = 2$
* **عامل گویاساز:** $A^2 + AB + B^2 = (\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2 = \sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4$
$$\frac{1}{\sqrt[3]{x} - 2} \times \frac{\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4}{\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4} = \frac{\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4}{(\sqrt[3]{x})^3 - 2^3}$$
$$\mathbf{\frac{\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4}{x - 8}}$$
---
### **ت) $\mathbf{\frac{6}{2\sqrt[3]{4} - 1}}$ (تفاضل مکعب‌ها)**
* **مخرج:** $A - B$ که $A = 2\sqrt[3]{4}$ و $B = 1$
* **عامل گویاساز:** $A^2 + AB + B^2 = (2\sqrt[3]{4})^2 + (2\sqrt[3]{4})(1) + 1^2 = 4\sqrt[3]{16} + 2\sqrt[3]{4} + 1$
$$\frac{6}{2\sqrt[3]{4} - 1} \times \frac{4\sqrt[3]{16} + 2\sqrt[3]{4} + 1}{4\sqrt[3]{16} + 2\sqrt[3]{4} + 1} = \frac{6(4\sqrt[3]{16} + 2\sqrt[3]{4} + 1)}{(2\sqrt[3]{4})^3 - 1^3}$$
$$\frac{6(4\sqrt[3]{16} + 2\sqrt[3]{4} + 1)}{8(4) - 1} = \frac{6(4\sqrt[3]{16} + 2\sqrt[3]{4} + 1)}{32 - 1}$$
$$\mathbf{\frac{6(4\sqrt[3]{16} + 2\sqrt[3]{4} + 1)}{31}}$$
